Die Zahlen $5^{98}+3$ und $5^{99}+1$ sind beide durch $14$ teilbar

Für den Taschenrechner sind sie zu groß, aber für den kleinen Fermatschen Satz nicht.

Es sind beide Zahlen gerade; damit brauchen wir nur noch die Teilbarkeit beider Zahlen durch $7$ zu zeigen.

Zunächst zur kleineren Zahl. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt $5^6\equiv 1 \pmod 7$, also folgt
\[
5^{98} \equiv 5^{16\cdot 6+2} \equiv 5^2 \equiv 25 \equiv 4\pmod 7\quad{,}
\]
damit $5^{98}+3\equiv 0\pmod 7$, d.h. $7\mid 5^{98}+3$.

Die größere Zahl könnte man auf dieselbe Weise erschlagen, aber es geht auch schneller:
Aus der Beziehung $7\mid 5^{98}+3$ folgt $7\mid 5\cdot \left(5^{98}+3\right) = 5^{99}+15$, und das führt unmittelbar zu $7\mid 5^{99}+1$, denn $14=5^{99}+15-\left(5^{99}+1\right)$ ist klarerweise durch $7$ teilbar.

Sowas geht natürlich auch mit größeren Zahlen, z.B. „Die Zahl $5^{4^7}-5^{4^6}$ ist durch 7 teilbar“. Solche Potenztürme kann man aber auch auf ganz andere Art knacken. Dazu mehr in einem späteren Post.