$\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, zum Ersten

Heute mal etwas Analysis (von hier).

$\text{Man zeige, dass die Folge $(a_n)_{n\in\mathbb N}$, definiert durch}$
\[
a_{n}:= \begin{cases}
1 & , \quad n = 1\\
\sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_{n-1}}& , \quad n > 1
\end{cases} \quad {,}
\] $\text{konvergiert und gebe ihren Grenzwert an.}$

Zuerst zeigen wir die Konvergenz. Dazu benutzen wir den Satz
„Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge reller Zahlen konvergiert.“

Die Folge $(a_n)$ ist (sogar streng) monoton wachsend, denn erstens gilt
\[
a_2 = \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_1} = \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}2} > 1 = a_1\quad\text{.}
\] und zweitens gilt für alle ${n\in{\mathbb N}_{\geq2}}$ mit ${a_n > a_{n-1}}$:
\[
a_{n+1} = \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_n} > \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_{n-1}} = a_n\quad{;}
\] hierbei haben wir die Induktionsvoraussetzung und die strenge Isotonie der Wurzelfunktion verwendet.
Außerdem ist die Folge $(a_n)$ durch 2 nach oben beschränkt: Es ist ${a_1=1<2}$, und ist ${n\in\mathbb N}$ mit ${a_n <2}$, so folgt
\[
a_{n+1} = \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_n} < \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+2} = \sqrt{\vphantom{1+a_n^2}3} < 2\quad.
\] Hier wurde wieder die Induktionsvoraussetzung und die strenge Isotonie der Wurzelfunktion verwendet.

Damit ist die Folge $(a_n)$ monoton wachsend und nach oben beschränkt, also existiert ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n}$.

Wie bestimmt man nun den Grenzwert der Folge, nennen wir ihn $x$?

Dazu halten wir zunächst fest, dass gilt
\[
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}a_{n+1}\quad{.}
\] (Wie sähe ein Beweis dafür aus?)

Jedenfalls erhalten wir damit
\[
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+a_n}\quad{.}
\] Wenn wir jetzt nacheinander die Stetigkeit der Wurzelfunktion auf ${\mathbb R_{>0}}$ und die Stetigkeit der Addition auf ${\mathbb R \times \mathbb R}$ ausnutzen, so sehen wir, dass gilt
\[
x = \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\vphantom{\big(}1+a_n} = \sqrt{\vphantom{\big(}\lim_{n\to\infty}1+a_n} = \sqrt{\vphantom{\big(}1+\lim_{n\to\infty}a_n} = \sqrt{\vphantom{\big(}1+x}\quad{,}
\] d.h. wir haben nur noch die quadratische Gleichung $x^2=1+x$ zu lösen. Sie hat in $\mathbb R$ genau zwei Lösungen, von denen eine positiv und eine negativ ist. Die negative Lösung ist aber uninteressant: es gilt ${a_1>0}$, und die Folge ist streng monoton wachsend – also sind auch alle weiteren Folgenglieder größer als 0, und es folgt, dass ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n} \geqslant 0$ sein muss.

Damit ist der Grenzwert gefunden; sein Wert ist… ja, genau: $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Interessant ist noch, dass der Grenzwert ein Fixpunkt der der Folge zugrundeliegenden Abbildung
\[
f\colon \mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}\ , \quad x\mapsto\sqrt{\vphantom{1+a_n^2}1+x}\quad{,}
\] ist:
\[
\begin{array}{rclcl}
f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)
&=&
\sqrt{1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
&=&
\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}
\\[5mm]
&=&
\sqrt{\frac32+\frac{\sqrt5}{2}}
&=&
\sqrt{\frac64+\frac{\sqrt5}{2}}
\\[5mm]
&=&
\sqrt{\frac14+\frac{\sqrt5}{2}+\frac54}
&=&
\sqrt{\left(\frac12\right)^2 + 2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt5}{2} + \left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^2}
\\[5mm]
&=&
\sqrt{\left(\frac12+\frac{\sqrt5}{2}\right)^2}
&=& \displaystyle\frac12+\frac{\sqrt5}{2}
\\[5mm]
&=&
\displaystyle\frac{1+\sqrt5}{2}
\end{array}
\] Wann ein Fixpunkt einer der Folge zungrundeliegenden Funktion ein Grenzwert der Folge ist, klärt der Banachsche Fixpunktsatz.