Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist spätestens seit Euklid bekannt. Sein Beweis, dessen Idee wir verwenden werden, um die Aussage im Titel zu zeigen, lautet (in moderner Sprache):
Die Menge der Primzahlen ist nicht leer, denn $2$ ist offenbar eine Primzahl. Wenn wir annehmen, dass es nur endlich viele, sagen wir $n\in\mathbb N_{\geq 1}$, Primzahlen gibt, die mit ${p_1,\ p_2,\,\ldots,\ p_n}$ bezeichnet seien, dann können wir alle diese Zahlen miteinander multiplizieren und $1$ addieren, d.h. die Zahl $N:=1+\displaystyle\prod_{i=1}^{n} p_i$ betrachten. Diese ist durch keine der Primzahlen $p_i$ teilbar, denn aus $p_i \mid 1+\displaystyle\prod_{i=1}^{n} p_i$ folgt sofort $p_i\mid 1$, ein offensichtlicher Widerspruch.Nun zum Beweis der eigentlichen Aussage. Zunächst ist die Primzahl $3$ von der verlangten Form. Nun sei $n\in\mathbb N$, und es seien ${p_1,\ p_2,\,\ldots,\ p_n}$ Primzahlen, die bei Division durch 4 alle den Rest 3 lassen. Jetzt betrachten wir die Zahl
Da $N$ eine natürliche Zahl größer als 1 ist, besitzt $N$ einen Primteiler (der kleinste Teiler $t$ von $N$, der größer als 1 ist, ist etwa ein solcher). Jedoch kann $t$ nicht in der Menge ${\set{p_1,\ p_2,\,\ldots,\ p_n}}$ enthalten sein, wie wir eben gesehen haben. Damit ist $t$ eine weitere Primzahl.
(Der Leser überlege sich, ob der Beweis gültig bleibt, wenn anfangs die Existenz wenigstens einer Primzahl nicht sichergestellt wird!)
\[
N:=(-1)+4\cdot\displaystyle\prod_{i=1}^{n} p_i\quad{,}
\] die offenbar ebenfalls bei Division durch 4 den Rest 3 lässt, also insbesondere ungerade ist. Damit ist jeder Teiler von $N$ entweder von der Form $4k+1$ oder von der Form $4k+3$. Also ist insbesondere jeder Primteiler von $N$ von einer der beiden Formen.
Nehmen wir an, jeder Primteiler von $N$ hätte die Form $4k+1$. Dann nehmen wir uns doch mal zwei davon her (es muss mindestens zwei (mit Vielfachheit gezählt) geben, denn gäbe es nur einen, dann wäre er gleich $N$, und $N$ wäre dann entgegen Konstruktion nicht von der Form $4k+3$), nennen wir sie $4a+1$ und $4b+1$, und berechnen ihr Produkt:
\[
\begin{array}{rcl}
(4a+1)\cdot(4b+1) &=& 4a\cdot4b+4a+4b+1\\[2mm]
&=& 16ab+4(a+b)+1\\[2mm]
&=& 4\cdot4ab+4(a+b)+1\\[2mm]
&=& 4\cdot(4ab+a+b) + 1
\end{array}
\] Wir sehen also, dass ihr Produkt wieder von der Form $4k+1$ ist. Per Induktion folgt sofort, dass dann auch $N$ von der Form $4k+1$ wäre, was erneut einen Widerspruch zur Konstruktion von $N$ darstellen würde. Also hat $N$ mindestens einen Primteiler $t$ der Form $4k+3$.
Wäre $t$ eine der Zahlen $p_i$, so folgte
\[
t \mid (-1) + 4\cdot\prod_{i=1}^{n} p_i - 4\cdot\prod_{i=1}^{n} p_i = -1\quad{,}
\] also $t\mid -1$ und damit auch $t\mid 1$, was nicht möglich ist. Also ist $t$ von allen Primzahlen ${p_1,\ p_2,\,\ldots,\ p_n}$ verschieden und damit eine weitere Primzahl der Form $4k+3$. Also gibt es unendlich viele Primzahlen dieser Form.
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