Es gibt genau eine Primzahl $p$ derart, dass $3\mspace{3mu}p+1$ eine Quadratzahl ist

Aus dem Tutorium.

Man benutze die folgende Charakterisierung von Primzahlen (vgl. Lemma von Euklid)

Eine natürliche Zahl $p$ größer als $1$ ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle $a,\,b\in\Z$ gilt: Aus $p\mid a\mspace{3mu}b$ folgt $\ p\mid a\ $ oder $\ p\mid b$.

um zu zeigen: Es gibt genau eine Primzahl $p$ derart, dass $3\mspace{3mu}p+1$ eine Quadratzahl ist.
Quelle dazu.

Nun: Sei $p$ eine Primzahl, sei $n$ eine natürliche Zahl, und es gelte $3\mspace{3mu}p+1=n^2$. Daraus erhalten wir sofort \[ 3\mspace{3mu}p=n^2 -1\quad, \] und die dritte binomische Formel erlaubt es uns, das als \[ 3\mspace{3mu}p = (n-1)\cdot(n+1) \] zu schreiben. Die linke Seite ist das Produkt der Primzahlen $3$ und $p$, ist also (Lemma von Euklid!) nur durch $1$, $3$, $p$ und $3\mspace{3mu}p$ teilbar. Also gilt das auch für die rechte Seite. Daraus ergeben sich vier Fälle:

Fall	$n+1$	$n-1$
a)	$1$	$3\mspace{3mu}p$
b)	$3$	$p$
c)	$p$	$3$
d)	$3\mspace{3mu}p$	$1$

Im Fall a) gilt $n+1=1$, also $n-1=-1$, womit $n-1$ keine natürliche Zahl, also insbesondere kein Primfaktor von $3\mspace{3mu}p$, wäre. Also tritt dieser Fall nicht ein.

Im Fall b) gilt $n+1=3$, also $n=2$, also $n^2=4=3\mspace{3mu}p+1$ und damit $p=1$, womit $p$ keine Primzahl wäre. Also tritt dieser Fall nicht ein.

Im Fall c) gilt $n-1=3$, also $n=4$, also $p=5$ und $3\mspace{3mu}p+1=16=4^2=n^2$. Also ist $p=5$ eine Lösung!

Im Fall d) schleißlich gilt $n-1=1$, also $n+1=3\mspace{3mu}p$, also $p=1$, womit $p$ erneut keine Primzahl wäre. Also tritt auch dieser Fall nicht ein.

Damit gibt es genau eine Primzahl $p$ derart, dass $3\mspace{3mu}p+1$ eine Quadratzahl ist, nämlich $p=5$.