Es sei $(G,\,\ast,\,e)$ eine Gruppe. Wir behaupten: $G$ ist genau dann abelsch, wenn die Abbildung $G\to G$, $a\mapsto a\ast a$, ein Homomorphismus ist.
Gelte zunächst: $G\to G$, $a\mapsto a\ast a$, ist ein Homomorphismus.
Seien $a,b\in G$. Dann gilt $\varphi(a\ast b) = a\ast b\ast a\ast b$ und $\varphi(a)\ast \varphi(b) = a\ast a\ast b\ast b$, wegen der Homomorphieeigenschaft von $\varphi$ also \[ a\ast b\ast a\ast b = a\ast a\ast b\ast b\quad. \] Nun liefert die Multiplikation mit $a^{-1}$ von links \[ b\ast a\ast b = a\ast b\ast b\quad, \] und indem wir von rechts mit $b^{-1}$ multiplizieren, erhalten wir \[ b\ast a = a\ast b\quad. \] Also ist $G$ abelsch.
Gelte nun: $G$ ist abelsch.
Dann gilt für alle $a,\,b\in G$: \[b\ast a=a\ast b\quad,\]also \[b\ast a\ast b = a\ast b\ast b\quad,\] also \[a\ast b\ast a\ast b = a\ast a\ast b\ast b\] und damit \[\varphi(a\ast b) =\varphi(a)\ast \varphi(b)\quad,\]also ist $\varphi$ ein Homomorphismus.
Hier gelten also beide Richtungen.
Nächste Behauptung: Gilt $a\ast a=e$ für alle $a\in G$, so ist $G$ abelsch.
Nun: Gelte $a\ast a=e$ für alle $a\in G$. Dann folgt \[a=a^{-1}\quad\text{für alle $a\in G$}\quad,\] also \[a\ast b=(a\ast b)^{-1}\quad\text{für alle $a\in G$}\quad,\] also \[a\ast b=b^{-1}\ast a^{-1}\quad\text{für alle $a\in G$}\] und damit \[a\ast b=b\ast a\quad\text{für alle $a\in G$}\quad.\] Also ist $G$ abelsch.
Die Umkehrung gilt nicht, denn es gibt abelsche Gruppen, in denen nicht jedes Element Ordnung 2 hat, wo also nicht $a\ast a=e$ für alle $a\in G$ gilt. Einfachstes Beispiel ist die abelsche Gruppe $(\Z,\,+,\,0)$. Hier gilt die Gleichung $a+a=0$ sogar für kein von Null verschiedenes Element.
Nächste Behauptung: Ist $G$ zyklisch, so ist $G$ abelsch.
Gelte also: $G$ ist zyklisch. Dann gibt es ein $g\in G$ mit $G=\{g^k \mid k\in\Z\}$. Seien $a,\,b\in G$. Dann gibt es $i,\,j\in \Z$ mit $a=g^i$ und $b=g^j$. Es folgt \[ a\ast b = g^i\ast g^j = g^{i+j} = g^{j+i} = g^j\ast g^i = b\ast a\quad, \] also ist $G$ abelsch.
Die Umkehrung gilt nicht, denn es gibt abelsche Gruppen, die nicht zyklisch sind. Einfachstes Beispiel ist die abelsche Gruppe $V_4$, die Kleinsche Vierergruppe. Bezeichnet man ihre Elemente mit $1$, $5$, $7$ und $11$, wobei $1$ das neutrale Element ist, so gilt die folgende Verknüpfungstafel, aus der man sofort abliest, dass die Gruppe abelsch ist:
| $\ast$ | $\mathbf1$ | $\mathbf5$ | $\mathbf7$ | $\mathbf{11}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathbf1$ | $1$ | $5$ | $7$ | $11$ |
| $\mathbf5$ | $5$ | $1$ | $11$ | $7$ |
| $\mathbf7$ | $7$ | $11$ | $1$ | $5$ |
| $\mathbf{11}$ | $11$ | $7$ | $5$ | $1$ |
Jedoch erkennt man auch, dass $V_4$ nicht zyklisch ist:
- Die von $1$ erzeugte zyklische Untergruppe ist $\{1\}$, also ungleich $G$.
- Die von $5$ erzeugte zyklische Untergruppe ist $\{1,\ 5\}$, also ungleich $G$.
- Die von $7$ erzeugte zyklische Untergruppe ist $\{1,\ 7\}$, also ungleich $G$.
- Die von $11$ erzeugte zyklische Untergruppe ist $\{1,\ 11\}$, also ungleich $G$.
Nächste Behauptung: Ist $G$ endlich und $\abs G$ ungerade und gilt $a\ast b\ast a\ast b=b\ast a\ast b\ast a$ für alle $a,b\in G$, so ist $G$ abelsch.
Quelle dazu.
Es gelte: $G$ ist endlich und von ungerader Ordnung. Dann gibt es $k\in\N$ mit $\abs G=2k-1$. Seien $a,\,b\in G$. Dann gilt \[ \begin{array}{rcll} a\ast b &=& a\ast b\ast e & \text{} \\ &=& a\ast b\ast (a\ast b)^{2k-1} & \text{kleiner Satz von Fermat}\\ &=& (a\ast b)^{2k}\\ &=& (a\ast b\ast a\ast b)^k\\ &=& (b\ast a\ast b\ast a)^k & \text{Voraussetzung}\\ &=& (b\ast a)^{2k}\\ &=& b\ast a\ast(b\ast a)^{2k-1}\\ &=& b\ast a\ast e & \text{kleiner Satz von Fermat}\\ &=& b\ast a\quad, \end{array} \] und damit ist $G$ abelsch.
Der Beweis stammt auch von obiger Quelle.
Auch hier gilt die Umkehrung nicht: Eine abelsche Gruppe braucht nicht endlich zu sein. Einfachstes Beispiel ist die abelsche Gruppe $(\Z,\,+,\,0)$.
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